Opțiunea model heston, Alte mijloace de calibrare a modelelor Heston

Sunteți pe pagina 1din 14 Căutați în document Există opțiunea model heston modele de evaluare a opţiunilor: modelul Black - Scholes şi modelul opțiunea model heston. Cele doua tipuri de modele se bazează pe raţionamente de arbitraj şi hedging şi pornesc de la premisa că piaţa nu permite operaţiuni de arbitraj. Modelul care le poarta numele se bazeaza pe o ecuatie diferentiala, ecuatie ce este satisfacuta de pretul oricarui produs financiar derivat.

Option (finance)

Ei au rezolvat aceasta ecuatie si au gasit o solutie analitica pentru o optiune Call de tip european. Pentru aceasta formula, cunoscuta ca formula lui Black-Scholes, cei doi au fost opțiunea model heston cu premiul Nobel pentru economie in Faimoasa ecuatie, scrisa in a fost intampinata cu reticenta in mediile financiare, de altfel ea a fost publicata abia in anuldar s-a dovedit a fi una din cele mai importante instrumente folosite in evaluarea produselor financiare. Termenul W este cunoscut ca miscare Browniana sau proces Wiener şi este o variabilă aleatoare care sintetizează toate elementele pieţei.

De subliniat faptul că toate ipotezele de mai sus pot fi relaxate ajungându-se la modele mai apropiate de realitate.

Valoarea unei opţiuni reprezintă prima plătită la semnarea contractului sau preţul la care ea se tranzacţionează pe piaţă la un moment ulterior emiterii.

Putem scrie valoarea unei opţiuni ca: V S, t ; σµ ; ET ; r. Mărimea Δ se presupune a fi constantă pe un înterval mic de timp. În consecinţă putem clasifica termenii din partea dreapta în felul următor: termeni deterministici, cei care au în componenţă pe dt şi termeni cu caracter aleator, termenii ce conţin dS.

Acest termen stochastic reprezintă riscul investiţiei făcute în portofoliul nostru. Vom alege pe Δ ca fiind: 2.

Acesta este un exemplu clasic de hedging. Întrucât, conform ipotezelor făcute, piaţa nu permite oportunităţi de opțiunea model heston, variaţia valorii portofoliului dată de formula 2. Dacă partea dreaptă a ecuaţiei 2. Pe de altă parte, dacă partea dreaptă a ecuaţiei 2. În fiecare caz am obţine profit fără risc ceea ce contrazice ipoteza noastră legată de absenţa posibilităţilor de arbitraj.

Înlocuind 2.

Găsirea unei soluţii unice depinde de impunerea unor aşa numite condiţii finale şi condiţii pe frontieră. În cazul în care avem o opţiune Call, ecuaţiei 2. Presupunem că activul de bază primeşte constant D0. În încheierea acestui paragraf vom analiza indicatorii de sensibilitate ai valorii unei opţiuni. Din punct opțiunea model heston vedere matematic senzitivitatea unei funcţii este cuantificată de valoarea derivatei funcţiei respective.

Conform tradiţiei indicatorii de senzitivitate sunt notaţi cu litere greceşti. Cel mai important indicator este DELTA- Δ şi reprezintă sensibilitatea valorii unei opţiuni la variaţia cursului suport. Pentru aprecierea riscului asumat de investitor, este mai relevantă utilizarea coeficientului GAMA- Γ. Acesta măsoară sensibilitatea coeficientului delta la o variaţie unitară a activului suport şi este derivata a doua a preţului opţiunii în raport cu preţul acţiunii: Acest coeficient creşte pe măsură ce se apropie scadenţa opţiunii.

Dacă coeficientul Opțiunea model heston se asociază cu viteza de reacţie a preţului opţiunii la variaţiile de curs ale acţiunii, coeficientul Γ se asociază cu acceleraţia. Cunoaşterea acestei acceleraţii permite să se ajusteze riscul portofoliului şi să se vadă dacă poziţia acestui risc se apropie de zero. Sensibilitatea valorii opţiunii în funcţie de ceilalţi factori se analizează prin coeficienţii teta, vega, rho şi nabla. Coeficientul TETA- θ măsoară sensibilitatea preţului unei opţiuni la o variaţie opțiunea model heston duratei: Cu cât se apropie scadenţa, coeficientul θ creşte iar valoarea în timp a opţiunii scade.

Informații document

Coeficientul VEGA- v măsoară opțiunea model heston preţului unei opţiuni la o variaţie a volatilităţii cursului activului suport : Cu cât opţiunea se apropie de scadenţăvega scade. Coeficienţii RHO-ρ şi NABLA- exprimă sensibilitatea preţului unei opţiuni în raport cu variaţia ratei de dobândă fără risc, respectiv cu variaţia preţului de exerciţiu: În continuare vom da valorile indicilor de sensibilitate pentru opţiuni CALL şi PUT în cazul în care activul suport generează dividend: 2.

Din păcate realitatea pieţei contrazice acestă situaţie. În practică, volatilitatea nu este constantă, nu poate fi prezisă pentru perioade de timp mai mari decât câteva luni şi nici măcar nu poate fi observată direct. Din aceste motive, pare natural să prezentăm volatilitatea însăşi ca o variabilă aleatoare care satisface un proces stochastic.

În acest caz valoarea unei opţiuni este o funcţie de trei variabile, V Sσ, t şi deoarece avem două surse de risc trebuie să construim un portofoliu de acoperire care să conţină, pe lângă opţiune alte două componente.

Presupunem că deţinem un portofoliu constituit dintr-o opţiune a cărei valoare este V Sσto cantitate - δ de active suport şi un număr - Δ1 de opţiuni de valoare V1 Sσ, t. Folosindu-se o tehnică similară cu cea din cazul clasic Black-Scholes se ajunge la următoarea ecuaţie ce caracterizează preţul unei opţiuni cu volatilitate stochastică: 2. Primele două ecuaţii sunt astfel alese încât să dea pasului binomial acelaşi drift şi aceeaşi abaterea medie pătratică a rentabilităţilor ca şi cele date de ecuaţia 2.

Ecuaţia 3.

Navigation menu

Rezolvarea sistemului ne conduce la soluţiile: Valoarea unei opţiuni poate să opțiunea model heston valoarea maximă Vu cu probabilitatea p sau valoarea minimă Vd cu probabilitatea 1 — p. Fig 4. Pentru a determina valoarea opţiunii, V0, trebuie să răspundem la două opțiunea model heston. Cu siguranţă le cunoaştem la scadenţă Taceste valori fiind date de funcţia payoff.

Răspunsul la această întrebare este dat în cele ce urmează. Procesul de arbitraj între un portofoliu de active suport şi un altul de CALL-uri, corespunzătoare pe o piaţă eficientă, conduce la un randament egal cu dobânda fară risc R. Astfel costruim un portofoliu ce combină cumpărarea unei opţiuni CALL şi vânzarea unui număr corespunzător, Δ de active suport. Acest portofoliu este perfect acoperit. Din această condiţie rezultând ponderea Δ de active suport ce trebuie vândute pentru o opţiune cumpărată în scopul obţinerii unui portofoliu acoperit: În cele din urmă valoarea portofoliului fără risc este : 3.

Cel mai natural mod de a indexa nodurile este prezentat mai departe.